命題２１
３つの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、２項と２項を共にとられて同じ比であり、それらの比が入れ替えられるならば、等間隔比により、第１の量が第３の量より大きいならば、第４の量は第６の量より大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。
３つの量A、B、Cがあり、それらと量において等しい他のD、E、Fがあり、それらの２項と２項を共に取られたとき同じ比であるとし、それらの比が入れ替えられるとする。つまりAはBに対し同じようにEはFに対し、そしてBはCに対し同じようにDはEに対する。definitionⅤ．１８
等間隔比により、AはCより大きいとする。
AがCより大きいならばDもまたFより大きい、小さいならば小さいことをいう。
AがCより大きく、Bがある他の量であるから、それゆえにAはBに対しCがBに持つより大きい比を持つ。propositionⅤ．８
しかしAはBに対し同じようにEはFに対し、そして逆にCはBに対し同じようにEはDに対する。それゆえにEはFに対しEがDに持つより大きい比を持つ。propositionⅤ．７cor、propositionⅤ．１３
しかし大きい比を持つ同じ量が小さく、それゆえにFはDより小さく、それゆえにDはFより大きい。propositionⅤ．１０
同じようにAがCと等しいならばDもまたFと等しく、小さいならば小さいことを証明できる。
それゆえに、３つの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、２項と２項を共にとられて同じ比であり、それらの比が入れ替えられるならば、等間隔比により、第１の量が第３の量より大きいならば、第４の量は第６の量より大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。
証明終了